SchoeNheit der Mathematik

10. Mai 2019

Phantasie ist wichtiger als Wissen 

Schönheit und Mathematik: Eine Geschichte

Lange bevor die Mathematik als das Fach etabliert war, das wir heute kennen, hat man sich in unterschiedlichen Kulturen mit den Besonderheiten mancher Zahlen oder Zahlenfolgen auseinandergesetzt. Zum Teil sprach man ihnen so etwas wie eine magische Wirkung oder Schutzfunktion zu. Elemente einer solchen Zahlenmystik findet man etwa in der jüdischen Kabbala. Auch in eher weniger mystischen Traditionen, etwa der klassischen griechischen Philosophie ist man sich sicher, dass Schönheit und mathematische „Harmonie und Symmetrie“ (so meint Platon) miteinander zusammenhängen. Dieser Gedanke wird in der Renaissance neu aufgegriffen und auf Architektur, Anatomie, bildende Kunst und Musik übertragen.

Nun wird kein/e Mathematiker/in heute noch behaupten, dass eine bestimmte Zahl „magisch“ sei. Allerdings gibt es immer noch Zahlen, die unter mancherlei Rücksicht etwas Zauberhaftes haben.
Schon Pythagoras entdeckte etwa das eigenartige Konzept der „befreundeten Zahlen“, von denen die niedrigsten 220 und 284 sind. Die echten (ganzzahligen) Teiler dieser beiden Zahlen als Summe die jeweils andere Zahl ergeben.

Die echten Teiler von 220 etwa sind 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 und 110.
Die Summe dieser Zahlen ergibt 284.
Die echten Teiler von 284 wiederum sind 1,2,4,71 und 142.
Und die Summe aus diesen Zahlen wiederum ergibt 220.

Warum?

Das und noch vieles andere zu verstehen hat sich die theoretische Mathematik oder auch die mathematische Philosophie zur Aufgabe gemacht. Denn unbestreitbar sind solche schönen Zahlenspiele für uns Menschen oft etwas sehr Faszinierendes.
Es ist deshalb auch nicht immer leicht zu entscheiden, ob die Mathematik als System in sich oder als Sprache „schön“ ist, oder ob sie es uns ermöglicht, die Schönheit der äußeren Welt in eine Form zu bringen.
Die Harmonie und Symmetrie der Welt äußert sich tatsächlich sehr oft auf mathematische Weise – und auch auf sehr geheimnisvolle.

Ein prominentes Beispiel: Der Goldene Schnitt

Ein Beispiel, das Naturwissenschaftler und solche, die es gerne wären, immer gern ins Spiel bringen, ist der Goldene Schnitt. Der Goldene Schnitt ist als ein Verhältnis von zwei Längen zueinander zu verstehen – und idealerweise ist dieses Verhältnis genau 1:1,618, oder in Prozent 61,8% zu 38,2%. Auch wenn der Goldene Schnitt fast so häufig als Mythos abgetan wird, wie sich jemand darauf beruft, lässt sich nicht bestreiten, dass sich dieses Verhältnis in der Natur sehr häufig findet. Der Blütenstand bei Rosen, die Anordnung der Nadeln einer jungen Kiefer oder der Samen einer Sonnenblume entsprechen etwa dem Goldenen Schnitt bzw. dem Goldenen Winkel (137,5°).

Warum diese Konstante in der Natur so häufig vorkommt, lässt sich nicht so leicht erklären, aber es ist unbestreitbar, dass das, was wir etwa bei einer Rose subjektiv als Schönheit oder Harmonie wahrnehmen, in einem gewissen Zusammenhang mit dem so systematischen Verhältnis ihrer Teile untereinander steht. Die Mathematik ermöglicht es uns aber erst, die enge Verbindung zwischen dieser Naturkonstante und der Schönheit zu erkennen – und damit nicht genug, denn bei den Rosenblättern endet dieses Geheimnis nämlich gar nicht. Seit dem 13. Jahrhundert ist der Goldene Schnitt aufs Engste mit dem Namen Fibonacci verbunden, der eine Folge von natürlichen Zahlen entdeckte, in der eine Zahl immer die Summe ihrer beiden Vorgänger ist, also: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, usw. Bei fortschreitender Größe der Zahlen nähert sich das Verhältnis immer mehr dem Goldenen Schnitt an.

Hier zeigt sich ein sehr außergewöhnlicher Zusammenhang, in dem uns die Schönheit des Goldenen Schnittes, so könnte man mit Kant sagen, a priori und a posteriori zugänglich wird, also rein verstandesmäßig und auch empirisch.
Mathematische Wahrheiten sind zunächst Wahrheiten a priori, das heißt, sie eröffnen sich uns durch reines Nachdenken. Diese Gedankenwelt der Zahlen und Variablen ist eine sehr abstrakte, aber auch erfrischend klare und einfache. Und das könnte man schon als Voraussetzung für eine sehr bestimmte Art von Schönheit sehen.

Übrigens, auch das muss erwähnt sein, ist die mathematischste Kunstform, der klarste ästhetische Ausdruck die Musik. Wer sich intensiv mit Rhythmen beschäftigt weiß, dass eine wirklich zählbare Struktur Musik erst verstehbar macht. Und so einflussreiche musikalische Bewegungen wie der Barock oder die 12-Ton-Musik basieren auf einer nahezu unbegreiflich mathematisch-symmetrischen Struktur. Und im Falle der Barock-Musik sind sich schon sehr viele Menschen über ihre Schönheit sehr einig.

Was Mathematik mit dem Denken macht

Unnötig zu sagen, dass sich jenen, die nicht freiwillig Mathematik studieren, die Schönheit dieses Faches nicht unmittelbar zeigt. SchülerInnen leiden oft darunter, wie kompliziert, abstrakt und langweilig sich die Mathematik präsentiert. Das mag damit zusammenhängen, dass Mathematik oft nicht auf eine Art unterrichtet wird, die sehr zu kreativen Denken anregt. Es gibt, so wird es vermittelt, eine Aufgabe, eine Lösung und einen Lösungsweg, und der ist entweder richtig oder falsch. Kein Platz für Abweichungen, für Infragestellungen oder eben für Schönheit. Aber dieser Eindruck trügt, denn echte Mathematik hat sehr viel mit freiem Denken und mit Fantasie zu tun.
Wie viele eigentlich unnötige Errungenschaften der menschlichen Kultur – SchülerInnen bemerken richtigerweise gerne an, dass sie problemlos auch ohne Mathematik überleben könnten – ist sie in gewissem Sinne auch eine Spielerei. Und wie wahrhaft schön ist es, wenn man selbst eines dieser Geheimnisse der Mathematik entdeckt! 

Das mag in der Grundschule beginnen, wo einer Zweitklässlerin auffällt, dass die 9er-Reihe „symmetrisch“ ist (sie beginnt mit 09, 18,… und endet mit …81,90 – bei 45 und 54 dreht sich das Spiel um). Und die Quersumme jeder Zahl ergibt, oh Wunder!, wieder 9! Vielleicht entdeckt ein Realschüler, dass die aus manchen Quadratzahlen wiederum eine Quadratzahl ergibt, und er fragt sich, warum das so ist. Und hier beginnen wir Menschen auch kreativ und frei zu denken, unabhängig von vorgefertigten Lösungswegen und klaren Konventionen.

Zum Schluss noch eine Empfehlung

Hier sei noch einmal darauf hingewiesen, wie nahe die Mathematik dem Schönen und der Kunst ist. Eines der tollsten Bücher über Mathematik für Laien hat der deutsche Dichter Hans Magnus Enzensberger geschrieben, den man sonst eher im Deutschunterricht kennenlernt. „Der Zahlenteufel“ ist ein Roman über einen Jungen, der mit Mathematik so gar nichts am Hut hat und dem der renitente Zahlenteufel deshalb nachts den Zauber der Mathematik zeigt. Philosophisch, literarisch und ernsthaft faszinierend für alle Menschen von 8 Jahren aufwärts, die glauben möchten, dass die Mathematik viel mehr zu bieten hat als nüchterne Fadesse.

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